Imaginaire pur - Corrigé

Énoncé

Soit `z \in \mathbb{C}` . On pose \(Z=z^2-\overline{z}^2\) . Montrer que  `Z` est un imaginaire pur.

Solution

• Méthode 1
  

Montrons que \(\text{Re}(Z)=0\) .

On pose  \(z=x+iy\) avec `x`  et `y`  des réels . On a alors :
\(\begin{align*} Z=z^2-\overline{z}^2 =(x+iy)^2-(x-iy)^2 =x^2+2ixy-y^2-x^2+2ixy+y^2 =4ixy \end{align*}\)
donc \(\text{Re}(Z)=0\) , et donc \(Z \in i\mathbb{R}\) .

• Méthode 2
  

Montrons que \(\overline{Z}=-Z\) .

On a : \(\begin{align*} \overline{Z} =\overline{z^2-\overline{z}^2} =\overline{z^2}-\overline{\overline{z}^2} =\overline{z}^2-\overline{\overline{z}}^2 =\overline{z}^2-z^2 =-\left(z^2-\overline{z}^2\right)=-Z \end{align*}\)  
et donc \(Z \in i\mathbb{R}\) .